Сегодня мы узнаем, как выполняется деление многочленов друг на друга, причем выполнять деление мы будем уголком по аналогии с обычными числами. Это очень полезный прием, который, к сожалению, не изучают в большинстве школ. Поэтому внимательно прослушайте данный видеоурок. Ничего сложного в таком делении нет.
Для начала давайте разделим друг на друга два числа:
Как можно это сделать? В первую очередь, мы отсекаем столько разрядов, чтобы полученное числовое значение было больше чем то, на которое мы делим. Если мы отсечем один разряд, то получим пять. Очевидно, семнадцать в пять не вмещается, поэтому этого недостаточно. Берем два разряда — у нас выйдет 59 — оно уже больше, чем семнадцать, поэтому мы можем выполнить операцию. Итак, сколько раз семнадцать помещается в 59? Давайте возьмем три. Перемножаем и записываем результат под 59. Итого у нас получилось 51. Вычитаем и у нас вышло «восемь». Теперь сносим следующий разряд — пять. Делим 85 на семнадцать. Берем пять. Перемножим семнадцать на пять и получаем 85. Вычитаем и у нас получается ноль.
Решаем реальные примеры
Задача № 1
Теперь выполним те же самые шаги, но не с числами, а с многочленами. Для примера возьмем такое:
\[\frac{{{x}^{2}}+8x+15}{x+5}=x+3\]
Обратите внимание, если при делении чисел друг на друга мы подразумевали, что делимое всегда больше делителя, то в случае деления полиномов уголком, необходимо, чтобы степень делимого была больше, чем делителя. В нашем случае все в порядке — мы работаем с конструкциями второй и первой степени.
Итак, первый шаг: сравниваем первые элементы. Вопрос: на что нужно домножить $x$, чтобы получилось ${{x}^{2}}$? Очевидно, что на еще один $x$. Умножаем $x+5$ на только что найденное число $x$. У нас есть ${{x}^{2}}+5$, которое вычитаем из делимого. Остается $3x$. Теперь сносим следующее слагаемое — пятнадцать. Снова посмотрим на первые элементы: $3x$ и $x$. На что следует домножить $x$, чтобы вышло$3x$? Очевидно, что на три. Домножаем почленно $x+5$ на три. Когда мы вычтем, то получим ноль.
Как видите, вся операция деления уголком свелась к сравнению старших коэффициентов при делимом и делителе. Это даже проще, чем когда вы делите числа. Тут не требуется выделять какое-то количество разрядов — мы просто на каждом шаге сравниваем старшие элементы. Вот и весь алгоритм.
Задача № 2
Давайте попробуем еще:
\[\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=x+2\]
Первый шаг: посмотрим на старшие коэффициенты. На сколько нужно домножить $x$, чтобы записать${{x}^{2}}$? Домножаем почленно. Обратите внимание, при вычитании у нас получится именно $2x$, потому что
Сносим -2 и снова сравним первый полученный коэффициент со старшим элементом делителя. Итого у нас вышел «красивый» ответ.
Переходим ко второму примеру:
\[\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-9x-18}{x+3}={{x}^{2}}-x-6\]
В этот раз в качестве делимого выступает полином третьей степени. Сравним между собой первые элементы. Для того чтобы получилось ${{x}^{3}}$, необходимо $x$ домножить на ${{x}^{2}}$. После вычитания сносим $9x$. Домножаем делитель на $-x$ и вычитаем. В итоге наше выражение полностью разделилось. Записываем ответ.
Задача № 3
Переходим к последней задаче:
\[\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+50}{x+5}={{x}^{2}}-2x+10\]
Сравниваем ${{x}^{3}}$ и $x$. Очевидно, нужно домножить на ${{x}^{2}}$. В итоге мы видим, что мы получили очень «красивый» ответ. Записываем его.
Вот и весь алгоритм. Ключевых моментов здесь два:
- Всегда сравнивайте первую степень делимого и делителя — повторяем это на каждом шаге;
- Если в исходном выражении пропущены какие-либо степени, при делении уголком их обязательно следует добавить, но с нулевыми коэффициентами, иначе ответ будет неправильным.
Больше никаких премудростей и хитростей в таком делении нет.
Материал сегодняшнего урока нигде и никогда не встречается в «чистом» виде. Его редко изучают в школах. Однако умение делить многочлены друг на друга очень поможет вам при решении уравнений высших степеней, а также всевозможных задач «повышенной трудности». Без данного приема вам придется раскладывать многочлены на множители, подбирать коэффициенты — и результат при этом отнюдь не гарантирован. Однако многочлены можно делить и уголком — так же, как и обычные числа! К сожалению, данный прием не изучают в школах. Многие учителя считают, что деление многочленов уголком — это что-то безумно сложное, из области высшей математики. Спешу вас заверить: это не так. Более того, делить многочлены даже проще, чем обычные числа! Посмотрите урок — и убедитесь в этом сами.:) В общем, обязательно возьмите этот прием на вооружение. Умение делить многочлены друг на друга очень пригодится вам при решении уравнений высших степеней и в других нестандартных задачах.
Я надеюсь, этот ролик поможет тем, кто работает с полиномами, особенно высших степеней. Это относится и к старшеклассникам, и к студентам университетов. А у меня на этом все. До встречи!
В данной статье будут рассмотрены рациональные дроби, ее выделения целых частей. Дроби бывают правильными и неправильными. Когда в дроби числитель меньше знаменателя – это правильная дробь, а неправильная наоборот.
Рассмотрим примеры правильных дробей: 1 2 , 9 29 , 8 17 , неправильных: 16 3 , 21 20 , 301 24 .
Будем вычислять дроби, которые могут сократиться, то есть 12 16 - это 3 4 , 21 14 - это 3 2 .
При выделении целой части производится процесс деления числителя на знаменатель. Тогда такая дробь может быть представлена как сумма целой и дробной части, где дробная считается отношением остатка от деления и знаменателя.
Пример 1
Найти остаток при делении 27 на 4 .
Решение
Необходимо произвести деление столбиком, тогда получим, что
Значит, 27 4 = ц е л а я ч а с т ь + о с т а т о к з н а м е н а т е л ь = 6 + 3 4
Ответ: остаток 3 .
Пример 2
Произвести выделение целых частей 331 12 и 41 57 .
Решение
Производим деление знаменателя на числитель при помощи уголка:
Поэтому имеем, что 331 12 = 27 + 7 12 .
Вторая дробь является правильной, значит, целая часть равняется нулю.
Ответ: целые части 27 и 0 .
Рассмотрим классификацию многочленов, иначе говоря, дробно-рациональную функцию. Ее считают правильной, когда степень числителя меньше степени знаменателя, иначе ее считают неправильной.
Определение 1
Деление многочлена на многочлен происходит по принципу деления углом, а представление функции как сумма целой и дробной частей.
Чтобы разделить многочлен на линейный двучлен, используется схема Горнера.
Пример 3
Произвести деление x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 на одночлен 2 x 2 .
Решение
Воспользовавшись свойством деления, запишем, что
x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .
Зачастую такого вида преобразования выполняются при взятии интегралов.
Пример 4
Произвести деление многочлена на многочлен: 2 x 3 + 3 на x 3 + x .
Решение
Знак деления можно записать в виде дроби вида 2 x 3 + 3 x 3 + x . Теперь необходимо выделить целую часть. Производим это при помощи деления столбиком. Получаем, что
Значит, получаем, что целая часть имеет значение - 2 x + 3 , тогда все выражение записывается как 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
Пример 5
Разделить и найти остаток от деления 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 - 1 .
Решение
Зафиксируем дробь вида 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 .
Степень числителя больше, чем у знаменателя, значит, что у нас имеется неправильная дробь. При помощи деления столбиком выдели целую часть. Получаем, что
Произведем деление еще раз и получим:
Отсюда имеем, что остаток равняется - 65 x 2 + 10 x - 3 , отсюда следует:
2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1
Существуют случаи, где необходимо дополнительно выполнять преобразование дроби для того, чтобы можно было выявить остаток при делении. Это выглядит следующим образом:
3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3
Значит, что остаток при делении 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 на x 3 - 3 дает значение - 3 x 2 + 6 x - 4 . Для быстрого нахождения результата применяют формулы сокращенного умножения.
Пример 6
Произвести деление 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .
Решение
Запишем деление в виде дроби. Получим, что 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Заметим, что в числителе выражение можно сложить по формуле куба суммы. Имеем, что
8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9
Заданный многочлен делится без остатка.
Для решения используется более удобный метод решения, причем деление многочлена на многочлен считается максимально универсальным, поэтому часто используемым при выделении целой части. Итоговая запись должна содержать полученный многочлен от деления.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Напомним, что разделить натуральное число a на натуральное число b – это значит представить число a в виде:
где частное c и остаток r – целые неотрицательные числа, причем остаток r удовлетворяет неравенству:
Если друг на друга делить многочлены, то возникает похожая ситуация.
Действительно, при выполнении над многочленами операций сложения, вычитания и умножения результатом всегда будет многочлен. В частности, при перемножении двух многочленов , отличных от нуля, степень произведения будет равна сумме степеней сомножителей.
Однако в результате деления многочленов многочлен получается далеко не всегда.
Говорят, что один многочлен нацело (без остатка) делится на другой многочлен , если результатом деления является многочлен.
Если же один многочлен не делится нацело на другой многочлен, то всегда можно выполнить деление многочленов с остатком , в результате которого и частное, и остаток будут многочленами.
Определение . Разделить многочлен a (x ) на многочлен b (x ) с остатком – это значит представить многочлен a (x ) в виде
a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x ) ,
где многочлен c (x ) – частное , а многочлен r (x ) – остаток , причем, степень остатка удовлетворяет неравенству:
Очень важно отметить, что формула
a (x ) = b (x ) c (x ) + r (x )
является тождеством , т.е. равенством, справедливым при всех значениях переменной x .
При делении (с остатком или без остатка) многочлена на многочлен меньшей степени в частном получается многочлен, степень которого равна разности степеней делимого и делителя.
Один из способов деления многочленов с остатком – это деление многочленов «уголком» , что представляет собой полную аналогию с тем, как это происходит при делении целых чисел.
К описанию этого способа деления многочленов мы сейчас и переходим.
Пример . Заранее расположив многочлены по убывающим степеням переменной, разделим многочлен
2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1
на многочлен
x 2 - x + 1 .
Решение . Опишем алгоритм деления многочленов «уголком» по шагам:
- Делим первый член делимого 2x 4 на первый член делителя x 2 . Получаем первый член частного 2x 2 .
- Умножаем первый член частного 2x 2 на делитель x 2 - x + 1, а результат умножения
- Вычитаем из делимого написанный под ним многочлен. Получаем первый остаток
- Делим первый член остатка x 3 на первый член делителя x 2 . Получаем второй член частного x .
- Умножаем второй член частного x на делитель x 2 - x + 1 , а результат умножения
- Вычитаем из первого остатка написанный под ним многочлен. Получаем второй остаток
- Делим первый член второго остатка 4x 2 на первый член делителя x 2 . Получаем третий член частного 4 .
- Умножаем третий член частного 4 на делитель x 2 - x + 1 , а результат умножения
2x 4 - 2x 3 + 2x 2
пишем под делимым 2x 4 - x 3 + 5x 2 - 8x + 1 .
x 3 + 3x 2 - 8x .
Если бы этот остаток был равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя ( в данном случае меньше 2), то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.
x 3 - x 2 + x
пишем под первым остатком x 3 + 3x 2 - 8x .
4x 2 - 9x + 1 .
Если бы этот остаток был бы равен нулю, или был многочленом, степень которого меньше, чем степень делителя, то процесс деления был бы закончен. Однако это не так, и деление продолжается.
Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.
СодержаниеТеорема
Пусть P k (x)
,
Q n (x)
- многочлены от переменной x
степеней k
и n
,
соответственно, причем k ≥ n
.
Тогда многочлен P k (x)
можно представить единственным способом в следующем виде:
(1)
P k (x)
= S k-n (x)
Q n (x)
+ U n-1
(x)
,
где S k-n (x)
- многочлен степени k-n
,
U n-1
(x)
- многочлен степени не выше n-1
,
или нуль.
Доказательство
По определению многочлена:
;
;
;
,
где p i , q i
- известные коэффициенты, s i , u i
- неизвестные коэффициенты.
Введем обозначение:
.
Подставим в (1)
:
;
(2)
.
Первый член в правой части - это многочлен степени k
.
Сумма второго и третьего членов - это многочлен степени не выше k - 1
.
Приравняем коэффициенты при x k
:
p k = s k-n q n
.
Отсюда s k-n = p k / q n
.
Преобразуем уравнение (2)
:
.
Введем обозначение: .
Поскольку s k-n = p k / q n
,
то коэффициент при x k
равен нулю. Поэтому - это многочлен степени не выше k - 1
,
. Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3)
.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1)
, только значение k
стало на 1
меньше. Повторяя эту процедуру k-n
раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U n-1
(x)
.
Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s i , u l . Причем s k-n ≠ 0 . Лемма доказана.
Деление многочленов
Разделив обе части уравнения (1)
на Q n (x)
,
получим:
(4)
.
По аналогии с десятичными числами, S k-n (x)
называется целой частью дроби или частным, U n-1
(x)
- остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.
Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.
По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10
.
Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10
.
Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.
Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.
Пример деления многочленов уголком
.
Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе - многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):
Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.
1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .
1.2
Умножаем 2
x 2
на x 2 - 3
x + 5
:
. Результат записываем в левый столбик:
1.3
Берем разность многочленов в левом столбике:
.
Итак, мы получили промежуточный результат:
.
Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3
) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2
). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1
Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;
2.2
Умножаем на знаменатель: ;
2.3
И вычитаем из последней строки левого столбика: ;
Промежуточный результат:
.
Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1
;
3.2
;
3.3
;
Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2
.
Поэтому дробь - правильная.
;
2
x 2 - 4
x + 1
- это целая часть;
x - 8
- остаток от деления.
Пример 2
Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.
Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:
Здесь остаток от деления равен нулю:
.
Умножение многочленов столбиком
Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.
Пример умножения многочленов столбиком
Найти произведение многочленов:
.
1
2.1
.
2.2
.
2.3
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
3
;
;
;
.
Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x
можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:
Пример 2
Найти произведение многочленов столбиком:
.
При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.
В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.
1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.
2.1
Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.
2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.
2.3
Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
2.3
Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x
.
3
После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x
:
.
Несколько лет назад с удивлением узнала, что сегодня в школах (даже во многих физ-мат школах), на кружках, да и в случаях “репетирования’’ не учат делить полиномы, или многочлены, в столбик. Самое забавное при этом, что схему Горнера школьники знают и используют для деления полиномов. Похоже, считается, что деление в столбик слишком сложно для неокрепшего разума, а вот выучить наизусть табличку, которая позволяет делить на многочлен первой степени, ему вполне по силам. Естественно, никто при этом не заботится о том, чтобы школьники поняли, почему так можно делить. Чтобы восполнить вопиющий пробел в образовании таких ребят, привожу здесь метод деления полинома на полином столбиком, который на самом деле довольно прост и позволяет делить на полиномы произвольной степени.
Начнем с того, что для двух многочленов и ( не должен быть тождественно равным нулю) справедлива . Если же остаток нулевой, то говорят, что делится на без остатка.
А теперь давайте рассмотрим примеры: на них учиться делить полиномы проще.
Пример 1. Разделим на (обратите внимание, оба многочлена записаны по убыванию степеней ). Сначала запишу то, что должно получиться, а затем приведу объяснения, как это получить.
Сначала старший член делимого — это — поделим на старший член делителя, то есть на . Полученный результат, который равен , будет старшим членом частного. Теперь умножим делитель на этот многочлен (получим ) и вычтем полученный результат из делимого. Получим остаток . Старший член этого остатка, который равен снова поделим на старший член делителя, который равен , получим , что и будет вторым членом частного. Делитель, умноженный на этот член, вычитаем из первого остатка. Получаем второй остаток, который равен нулю. На этом процесс деления заканчивается.
Легко проверить, что
Вообще говоря, деление заканчивается, как только степень полученного остатка будет меньше (строго меньше!) степени делителя. Давайте рассмотрим еще один пример.
Пример 2. Поделим на .
Деление закончено, поскольку степень последнего остатка меньше степени делителя (), иначе говоря, старший член остатка не делится нацело на старший член делителя.
Проверка. Действительно, нетрудно убедиться в том, что